Comparison by Division and Simplifying Ratios
Comparing by Division – The Base Idea
When we mix milk and water, we often want to know how much water is mixed in milk — that’s a comparison.
Let’s say:
- Milk = 1000 ml
- Water = 200 ml
We compare by division →
( Milk ÷ Water = 1000 ÷ 200 = 5 )
This tells us that there is 5 times more milk than water.
So, the comparison by division shows “how many times one quantity contains the other.”
We write this comparison as a ratio:
Milk : Water = 1000 : 200
Writing in Ratio Form
The ratio shows the relationship between milk and water directly —
1000 : 200
But this looks big and not simple to read.
To find the real or pure relationship, we simplify it by dividing both parts by the same number.
Simplifying the Ratio
We find the common factor of both quantities.
Here, both 1000 and 200 are divisible by 200.
So,
( 1000 ÷ 200 = 5 )
( 200 ÷ 200 = 1 )
Therefore, the simplified ratio = 5 : 1
This means —
“For every 5 parts of milk, there is 1 part of water.”
Why We Simplify (Divide till Prime Ratio)
(a) To Find the Pure Relationship
Even if we change the total mixture, the relationship should remain same.
Example:
- If we double both → Milk = 2000 ml, Water = 400 ml
Ratio = 2000 : 400 = 5 : 1 again!
So the relationship between milk and water (purity) stays same.
Simplifying helps us see this constant relationship clearly.
(b) To Make Comparison Easier
It’s easier to understand 5 : 1 than 1000 : 200.
Smaller, simpler numbers help us quickly see which mixture is purer.
Example:
- 4 : 1 → more watery
- 5 : 1 → purer milk
- 6 : 1 → even purer milk
(c) To Remove Units
When we divide both quantities (ml ÷ ml), the units cancel.
So ratio has no unit — it’s a pure number.
This makes it valid whether we use millilitres, litres, or cups.
(d) To Help in Scaling Up or Down
Once we know the simple ratio 5 : 1,
we can make any amount of mixture by multiplying both sides equally.
Example:
For 3 litres of milk (3000 ml),
Water = 1/5 of milk = 600 ml.
The ratio remains 5 : 1 always.
भागाकाराने तुलना आणि गुणोत्तर
भागाकाराने तुलना
जेव्हा आपण दूध आणि पाणी मिसळतो, तेव्हा त्यांच्या प्रमाणाचा संबंध जाणून घेणे महत्त्वाचे असते. ‘दुधात किती पाणी मिसळले आहे’ हे गुणोत्तराने काढूया.
समजा आपल्याकडे आहे:
- दूध = 1000 मि.ली.
- पाणी = 200 मि.ली.
आपण भागाकाराने तुलना करूया:
दूध ÷ पाणी = 1000 ÷ 200 = 5
याचा अर्थ असा आहे की — दुधाचे प्रमाण पाण्यापेक्षा ५ पट जास्त आहे.
म्हणजेच भागाकाराने केलेली तुलना आपल्याला हे स्पष्ट करते:
“एका वस्तूचे प्रमाण दुसऱ्या वस्तूच्या प्रमाणात किती वेळा सामावते किंवा किती पटीने आहे.”
हाच संबंध आपण गुणोत्तराच्या स्वरूपात (In the form of Ratio) लिहितो:
दूध : पाणी = 1000 : 200
गुणोत्तराच्या रूपात मांडणी आणि साधे रूप
हे 1000 : 200 हे गुणोत्तर दूध आणि पाण्यातील प्रमाणाचे नाते दर्शवते.
पण हे 1000 : 200 मोठे आणि हाताळायला गुंतागुंतीचे वाटते.
म्हणून, त्यांच्यातील खरा, शुद्ध किंवा मूळ संबंध समजून घेण्यासाठी, आपण दोन्ही संख्यांना एकाच सर्वात मोठ्या संख्येने भाग देतो आणि गुणोत्तराचे साधे रूप तयार करतो.
गुणोत्तर साधे करणे
पायरी: दोन्ही संख्यांचा समान विभाजक किंवा मसावि शोधूया.
- या उदाहरणात 1000 आणि 200 या दोन्ही संख्या 200 ने पूर्ण भागतात.
दुधाचा भाग – 1000 ÷ 200 = 5
पाण्याचा भाग- 200 ÷ 200 = 1
म्हणून, साधे किंवा सरळ रूप असलेले गुणोत्तर – 5 : 1
याचा अर्थ:
“प्रत्येक ५ भाग दुधासाठी, केवळ १ भाग पाणी आहे.”
आपण गुणोत्तर साधे का करतो?
आपण गुणोत्तराचे ‘अविभाज्य गुणोत्तर’ किंवा ‘साधे रूप’ का करतो? याची काही मुख्य कारणे खालीलप्रमाणे आहेत:
(a) शुद्ध आणि स्थिर संबंधासाठी
जरी आपण मिश्रणाचे एकूण प्रमाण बदलले, तरीही त्यांच्या घटकांचे नाते तेच राहते.
उदा. दूध 2000 मि.ली. आणि पाणी 400 मि.ली.
गुणोत्तर 2000 : 400 = 5 : 1
निष्कर्ष: साधे गुणोत्तर केल्याने हा स्थिर संबंध अगदी सहजपणे स्पष्ट होतो.
(b) तुलना सोपी करण्यासाठी
1000 : 200 पाहण्यापेक्षा 5 : 1 समजायला खूप सोपे आहे.
लहान आणि साध्या संख्यांमुळे तुलना झटपट करता येते.
उदा. 4 : 1 यात जास्त पाणी (शुद्धता कमी), 6 : 1 अजून शुद्ध दूध (शुद्धता जास्त).
(c) एकक (Unit) काढून टाकण्यासाठी
जेव्हा आपण दोन्ही मात्रांना भाग देतो (मि.ली. ÷ मि.ली.), तेव्हा एकके आपोआप रद्द होतात.
परिणाम: गुणोत्तराला कोणतेही एकक नसते — ते एक शुद्ध संख्यात्मक तुलना असते.
- त्यामुळे तुम्ही मि.ली., लिटर, किंवा कप काहीही वापरले तरी 5:1 हे गुणोत्तर कधीच बदलत नाही.
(d) प्रमाण वाढवताना/कमी करताना
- एकदा 5 : 1 हे साधे गुणोत्तर माहीत झाले की, तुम्ही हवे तेवढे प्रमाण तयार करू शकता.
- फक्तदोन्ही बाजूंना समान संख्येने गुणाकार करून प्रमाण वाढवावे.
- उदा. जर दूध 3 लिटर (3000 मि.ली.) असेल, तर पाणी दुधाच्या 1/5 भाग = 600 मि.ली. लागेल. गुणोत्तर 5 : 1 कायम राहते.